Geboren 1959 in Moskau, begann er 1977 sein Studium der Journalistik an der Moskauer Staatlichen Universität und arbeitete gleichzeitig als freier Korrespondent für die Komsomolskaja Prawda. Er gab den Journalismus bald auf und schloss sein Philosophiestudium 1984 an derselben Universität ab. Von 1981 bis 1984 war er als Redakteur in der Philosophieabteilung des Verlags der Moskauer Staatlichen Universität sowie bei der Utschitelskaja Gaseta und der Pionerskaja Prawda tätig.
1986 wurde er wegen Schwarzarbeit verhaftet und zu einem Jahr Zwangsarbeit in der Buchbinderei einer Druckerei verurteilt. 1987 gründete er die Literaturzeitschrift „Paragraph“ im Rockwell Kent Poets’ Club des Moskauer Ingenieurphysikalischen Instituts.
Während der Perestroika war er als Redakteur der Dumazeitung „Quorum“, der Zeitschrift des Moskauer Patriarchats und als Fernsehredakteur tätig. Er arbeitete als Nachrichtenredakteur beim Moskauer Büro für Informationsaustausch (M-BIO) und als Leiter des Moskauer Büros der lettischen Zeitung „Atmoda“. Er war an der Gründung der religiösen Nachrichtenagentur „Metaphrasis“, des Online-Magazins „New Politics“ und von „Gefter.ru“ beteiligt.
Von 2011 bis 2015 war er Chefredakteur des Russian Journal und Direktor des UNIC Center for Media Studies. Von 2014 bis 2015 lehrte er am Juri-Lotman-Institut für russische Kultur der Ruhr-Universität. Anschließend arbeitete er für die Deutsche Welle. Alexander Morozov engagierte sich aktiv im öffentlichen Journalismus und schrieb regelmäßig für Publikationen wie Slon, Colta, Forbes, OpenSpace, Gazeta.ru, Vedomosti und Svobodnaya Pressa sowie für die Magazine Continent und Pushkin.
Zwischen 2008 und 2014 nahm er an allen Protestkundgebungen teil und trat als Redner auf. 2010 wurde er bei einem dieser Proteste verhaftet.
2014 emigrierte er in die Tschechische Republik. Er lehrt an der Karls-Universität, ist Mitbegründer des Prager Antikriegskomitees und Mitorganisator des Boris-Nemzow-Zentrums. 2023 wurde er auf die Liste der „ausländischen Agenten“ gesetzt.